» נושאי לימוד
» נושאי לימוד
יום שישי 31 באוקטובר 2014
איך פותרים מערכת של משוואות לינאריות בעזרת מטריצה?
דף ראשי   מטריצות  מטריצות  איך פותרים מערכת של משוואות לינאריות בעזרת מטריצה? גרסה להדפסה

איך פותרים מערכת של משוואות לינאריות בעזרת מטריצה?

 

אנו ניקח את מערכת המשוואות הנתונה שצריך לפתור, ונוציא ממנה את המטריצה המורחבת M .

עכשיו נעבוד עם המטריצה המורחבת M , כלומר נצמצם את שורותיה של המטריצה המורחבת של המערכת לצורה מדורגת ואז נצמצם אותה לצורה קנונית אשר מובילה לפתרון.

ההצדקה לתהליך זה נובעת מהעובדות הבאות:

 

א)     כל פעולת שורה אלמנטרית על המטריצה המורחבת M  של המערכת, שקולה ליישום הפעולה המתאימה על המערכת עצמה.

ב)     למערכת יש פתרון אם ורק אם בצורה המדורגת של המטריצה  Mאין שורה מהצורה (0.0,0...,0,b)   עם b ששונה מאפס.

ג)    בצורתה הקנונית של המטריצה M  (לאחר שהוצאו ממנה שורות אפסים) המקדם של כל משתנה שאינו חופשי הוא איבר מוביל השונה מאפס , כלומר שווה ל-1, והוא האיבר השונה מאפס היחיד בעמודתו.

       על כן הפתרון הכללי מושג בפשטות ע"י חילוץ המשתנים הלא- חופשיים.

 

 

 מסובך? נביא כעת מספר דוגמאות אשר יבהירו את תהליך זה.

 

דוגמאות

 

א)     פתור את המערכת:

 

x + y - 2z + 4t = 5

2x + 2y - 3z + t = 4

3x +3y - 4z - 2t = 1

 

את המערכת הזו נפתור ע"י צמצום המטריצה המורחבת M לצורה מדורגת ואח"כ לקנונית, כלהלן:

 

 

השורה השלישית במטריצה השנייה נמחקה, מאחר שהיא כפולה של  השורה השנייה, ולכן תיתן שורת אפסים. 

 

על- כן צורת הפתרון הכללי של המערכת היא זו:

 

x + y - 10t = -9                         או                x = -9 - y +10t

z - 7t = -7                                                          z = -7 + 7t  

 

 כאן המשתנים  החופשים הם y ו- t, והמשתנים הלא חופשים הם x ו- z.

 

ב)                                             

                 

 

 

 

 

 

נפתור את המערכת :

 

x1 + x2 - 2x3  + 3x4 = 4

x1 + 3x2 + 3x3  - x4 = 32

5x1 + 7x2 + 4x3  + x4 = 5

 

ע"י צמצום המטריצה המורחבת למדורגת:

 

 

 

אין צורך להמשיך ולמצוא את הצורה הקנונית של המטריצה מאחר שהמטריצה המדורגת כבר מעידה על כך שלמערכת אין פתרון, כי השורה השלישית של המטריצה המדורגת מתאימה למשוואה :

 

 0x1 + 0x2 + 0x3  + 0x4 = -5

 

שאין לה פתרון.

 

ג) המערכת

X + 2y + z = 3

2x + 5y - z = -4

3x - 2y - z = 5

 

נפתרת ע"י צמצום המטריצה המורחבת M למדורגת ואז לקנונית:

 

 

על – כן יש למערכת פתרון יחיד  x = 2, y = -1, z = 3  או  u = (2, -1, 3).

 

 

הצורה המדורגת של M העידה על כך שהפתרון הוא יחיד, שכן היא  התאימה למערכת משולשת.

 

 05-02-04 / 15:01  עודכן ,  21-12-03 / 19:14  נוצר ע"י חגית כנפי  בתאריך 
 שקילות שורה ופעולות שורה יסודיות - הקודםהבא - פעולות חשבון במטריצות 
תגובות הקוראים    תגובות  -  0
דרכונט
מהי מערכת הדרכונט?
אינך מחובר, להתחברות:
דוא"ל
ססמא
נושאי לימוד
חיפוש  |  לא פועל
משלנו  |  לא פועל
גולשים מקוונים: 4