איך פותרים מערכת של משוואות לינאריות בעזרת מטריצה?

אנו ניקח את מערכת המשוואות הנתונה שצריך לפתור, ונוציא ממנה את המטריצה המורחבת M .

עכשיו נעבוד עם המטריצה המורחבת M , כלומר נצמצם את שורותיה של המטריצה המורחבת של המערכת לצורה מדורגת ואז נצמצם אותה לצורה קנונית אשר מובילה לפתרון.

ההצדקה לתהליך זה נובעת מהעובדות הבאות:

א)     כל פעולת שורה אלמנטרית על המטריצה המורחבת M  של המערכת, שקולה ליישום הפעולה המתאימה על המערכת עצמה.

ב)     למערכת יש פתרון אם ורק אם בצורה המדורגת של המטריצה  Mאין שורה מהצורה (0.0,0...,0,b)   עם b ששונה מאפס.

ג)    בצורתה הקנונית של המטריצה M  (לאחר שהוצאו ממנה שורות אפסים) המקדם של כל משתנה שאינו חופשי הוא איבר מוביל השונה מאפס , כלומר שווה ל-1, והוא האיבר השונה מאפס היחיד בעמודתו.        על כן הפתרון הכללי מושג בפשטות ע"י חילוץ המשתנים הלא- חופשיים.

 מסובך? נביא כעת מספר דוגמאות אשר יבהירו את תהליך זה.

דוגמאות

א)     פתור את המערכת:

x + y - 2z + 4t = 5

2x + 2y - 3z + t = 4

3x +3y - 4z - 2t = 1

את המערכת הזו נפתור ע"י צמצום המטריצה המורחבת M לצורה מדורגת ואח"כ לקנונית, כלהלן:

השורה השלישית במטריצה השנייה נמחקה, מאחר שהיא כפולה של  השורה השנייה, ולכן תיתן שורת אפסים. 

על- כן צורת הפתרון הכללי של המערכת היא זו:

x + y - 10t = -9                         או                x = -9 - y +10t

z - 7t = -7                                                          z = -7 + 7t  

 כאן המשתנים  החופשים הם y ו- t, והמשתנים הלא חופשים הם x ו- z.