סוגים מיוחדים של מטריצות רבועיות

 

בחלק זה נתאר מס' סוגים מיוחדים של מטריצות ריבועיות אשר ממלאות תפקיד חשוב באלגברה הלינארית.

 

 

מטריצות אלכסוניות

 

 מטריצה ריבועית שכל האיברים פרט לאלכסון הראשי הם אפסים

 מטריצה זו מסמנים ב- diag(a_11, a_22,...a_nn)     

 

 

 סכום, כפל בסקלר, וכפל מטריצות אלכסוניות הם שוב אלכסוניים.

המטריצות האלכסוניות יוצרות אלגברה קומוטטיבית מאחר שכל שתי מטריצות אלכסוניות nxn מתחלפות.

 

מטריצות משולשות

 

מטריצה ריבועית היא מטריצה משולשת עליונה(תחתונה) או מטריצה משולשת אם כל האיברים מתחת (מעל) לאלכסון הראשי שלה הם אפסים.

 

מטריצה משולשית עליונה אם מתקיים שa_ij = 0  :  , לכל i > j .

מטריצה משולשית תחתונה אם מתקיים שa_ij = 0  :  , לכל i < j .

 

 נניח ש- A ו- B  הן מטריצות nxn משולשות עליונות אזי:

 

א) A+B   היא משולשת עליונה עם אלכסון (a₁₁+b₁₁  , a₂₂+b₂₂, ...,a_nn+b_nn)

 

ב) kA  היא משולשת עליונה עם אלכסון  (ka₁₁, ka₂₂, ...,ka_nn)

 

ג) AB היא משולשת עלינה עם אלכסון  (a₁₁*b₁₁  , a₂₂*b₂₂, ...a_nn*b_nn)

 

ד) עבור כל פולינום  f(x), המטריצה f(A) היא משולשת עליונה עם אלכסון

  (f(a₁₁), f(a₂₂), ...,f(a_nn) )

 

ה) A הפיכה אם ורק אם כל איברי האלכסון שלה שונים מ- 0.

 

 

כל הטענות הנ"ל אנלוגים גם למטריצה משולשת תחתונה.

 

מטריצות סימטריות

 

• מטריצה ריבועית ממשית A היא סימטרית אם A^T=A
• מטריצה ריבועית ממשית A היא אנטי – סימטרית אם  -A=    A^T (איברי האלכסון הראשי חייבים להיות אפסים)