» נושאי לימוד
» נושאי לימוד
יום שישי 20 בספטמבר 2019
פתרון AX = B בעזרת ההופכית של A
דף ראשי   מטריצות ריבועיות  מטריצות ריבועיות  מטריצות הפיכות(לא סינגולריות)  פתרון AX = B בעזרת ההופכית של A גרסה להדפסה

פתרון AX = B בעזרת ההופכית של A

 

 

נתון שמטריצות A, X , B  מקימות  AX = B  .

 

כאשר A ו- B מטריצות נתונות, אם A  מטריצה הפיכה ניתן למצוא את מטריצה X שהיא יחידה המקיימת את המשוואה באופן הבא:

 

נכפול את שני האגפים ב- A-1  ,  ונקבל:

 

 

AX = B  /  A-1

A-1 A X = A-1 B

X = A-1B

 

 

כלומר כדי למצוא את מטריצה X   צריך למצוא את ההופכית של A (תוך שימוש באחת השיטות שלמדנו) ולכפול אותה במטריצה B.

 

קימת שיטה נוספת יותר פשוטה למציאת מטריצה B החוסכת את מציאת A-1  .

 

נעמיד את מטריצות A ו- B  באופן הבא : ( A | B)   ונבצע פעולות אלמנטריות על A ו- B  באותו הסדר כך ש-A  תהפוך תחת הפעולות למטריצה היחידה ו- B תהפוך למטריצה X .

 

שיטה זו מזכירה את התהליך של מציאת מטריצה הופכית.

 

דוגמאות

 

א) נתונות המטריצות הריבועיות :

 

 

 

מצא את מטריצה X שמקיימת AX = B   .

 

אנו נפתור בשיטה הפשוטה יותר.

 

 

 

 

  אם בתהליך הדירוג נוצר מצב של משתנה חופשי כלומר עמודה ללא איבר מוביל סימן  ש- A לא הפיכה ולא ניתן להמשיך- לא קימת מטריצה X.

 

 

 

 

ב)  פתור את מערכת המשואות Ax =  bi 

      כאשר :

 

 

 

 אפשר לפתור את שלוש המערכות של המשוואות זו אחר זו, אך ניתן גם לפתור אותן יחד.

נכפיל את שני האגפים של המשוואה ב- A-1   נקבל   x = A-1bi .

כלומר אם נחשב את   A-1  נקבל את שלושת הפתרונות.

 

נשאיר לכם לבדוק ש-

 

 

ונקבל ש- 

 

 

 

 הידעת?  מטריצה A שאיבריה   (כמו בדוג' הקודמת) נקראת מטריצת הילברט(Hilbert)

אם  A היא מטריצת הילברט, אזי האיברים של A-1  הם מספרים שלמים. 

 23-02-04 / 20:46  עודכן ,  23-11-03 / 11:44  נוצר ע"י חגית כנפי  בתאריך 
 מציאת מטריצה הופכית - הקודםהבא - סוגים מיוחדים של מטריצות ריבועיות 
תגובות הקוראים    תגובות  -  0
דרכונט
מהי מערכת הדרכונט?
אינך מחובר, להתחברות:
דוא"ל
ססמא
נושאי לימוד
חיפוש  |  לא פועל
משלנו  |  לא פועל
גולשים מקוונים: 3