» נושאי לימוד
» נושאי לימוד
יום רביעי 23 בינואר 2019
מרחב וקטורי (או מרחב לינארי)
דף ראשי   מרחבים וקטורים  מרחבים וקטוריים  מרחב וקטורי (או מרחב לינארי) גרסה להדפסה

מרחב וקטורי (או מרחב לינארי)

 

מרחב וקטורי V מעל שדה K  הוא קבוצה לא ריקה של איברים  הנקראים וקטורים, שבה מוגדרת פעולת החיבור המתאימה לכל שני וקטורים   u, v  השייכים ל- V וקטור    u + vגם שייך ל-V .

וכן מוגדרת פעולת הכפל בין איבר u ב- V לבין  איבר k ששיך ל-K וקטור  ku  גם שייך ל- V

 

כמו כן צריך להתקיים כל התכונות הבאות עבור u,v,w ששיכים ל-V ןלכל a,b השיכים ל-K:

 

 

א)    u+v = v+u                       

ב)    (u + v) +w = u + (v + w) 

 

ג)     קיים ב- V וקטור אפס שיסומן 0 כזה ש- u + 0 = u, והוא הוקטור היחיד בעל תכונה זו.                   

 

ד) קיים ב- V איבר יחיד  שיסומן ב- -u ,  הוקטור הנגדי ל-  u , כך ש-

    u + (-u) = 0                 

 

ה)  a*1 = a  כש- 1 הוא איבר היחידה של השדה K

 

ו)   (a b)u = a(b u)             

 

ז)   a(u + v) = au +  av         

 

ח (a +b)u = au +  bu    

 

 

 

התכונות הנ"ל נחלקות באופן טבעי לשתי קבוצות.

ארבע הראשונות עוסקות במבנה החיבורי בלבד של V וניתן לסכמן באמירה ש- V היא חבורה קומוטטיבית תחת חיבור.

 

מכאן נובע ש-

 

1)כל סכום של וקטורים מהצורה:   v1 + v2 + ... +vm אינו מצריך סוגריים ואינו תלוי  בסדר המחוברים

2) וקטור האפס 0 הוא יחיד

3) הנגדי -u של u הוא יחיד,

4) חוק הצמצום בחיבור מתקיים, כלומר לכל  שלושה וקטוריים u, v, w  ב- V :

u + w = v +w   גורר   u = v

5)חיסור מוגדר ע"י   u - v  = u + ( -v)

 

מאידך ארבע התכונות הנותרות עוסקות ב"פעולת" השדה K על V.

מתכונות אלו אנו מביאים  את המסקנות הנובעות ישירות מהגדרת מרחב וקטורי:

 

1) עבור 0 ב- V ולכל סקלר k   ב- K,  k0 = 0.

2) עבור 0 ב- K ולכל וקטור u   ב-  V      0u = 0

3) אם ku = 0  כש- k  ב- K ו- u  ב- V   אזי   k = 0  או  u = 0

4) לכל k  ב- K ולכל u ב- V       (-k)u = k(-u) = -ku 

 

הוכיחו מסקנות אלו בעזרת התכונות שלמעלה!

 

 

 

 

 

 

 31-01-04 / 21:42  עודכן ,  28-11-03 / 11:02  נוצר ע"י חגית כנפי  בתאריך 
 שדה - הקודםהבא - דוגמאות של מרחבים וקטוריים 
תגובות הקוראים    תגובות  -  0
דרכונט
מהי מערכת הדרכונט?
אינך מחובר, להתחברות:
דוא"ל
ססמא
נושאי לימוד
חיפוש  |  לא פועל
משלנו  |  לא פועל
גולשים מקוונים: 4