» נושאי לימוד
» נושאי לימוד
יום חמישי 9 ביולי 2020
מרחב וקטורי (או מרחב לינארי)
דף ראשי   מרחבים וקטורים  מרחבים וקטוריים  מרחב וקטורי (או מרחב לינארי) גרסה להדפסה

מרחב וקטורי (או מרחב לינארי)

 

מרחב וקטורי V מעל שדה K  הוא קבוצה לא ריקה של איברים  הנקראים וקטורים, שבה מוגדרת פעולת החיבור המתאימה לכל שני וקטורים   u, v  השייכים ל- V וקטור    u + vגם שייך ל-V .

וכן מוגדרת פעולת הכפל בין איבר u ב- V לבין  איבר k ששיך ל-K וקטור  ku  גם שייך ל- V

 

כמו כן צריך להתקיים כל התכונות הבאות עבור u,v,w ששיכים ל-V ןלכל a,b השיכים ל-K:

 

 

א)    u+v = v+u                       

ב)    (u + v) +w = u + (v + w) 

 

ג)     קיים ב- V וקטור אפס שיסומן 0 כזה ש- u + 0 = u, והוא הוקטור היחיד בעל תכונה זו.                   

 

ד) קיים ב- V איבר יחיד  שיסומן ב- -u ,  הוקטור הנגדי ל-  u , כך ש-

    u + (-u) = 0                 

 

ה)  a*1 = a  כש- 1 הוא איבר היחידה של השדה K

 

ו)   (a b)u = a(b u)             

 

ז)   a(u + v) = au +  av         

 

ח (a +b)u = au +  bu    

 

 

 

התכונות הנ"ל נחלקות באופן טבעי לשתי קבוצות.

ארבע הראשונות עוסקות במבנה החיבורי בלבד של V וניתן לסכמן באמירה ש- V היא חבורה קומוטטיבית תחת חיבור.

 

מכאן נובע ש-

 

1)כל סכום של וקטורים מהצורה:   v1 + v2 + ... +vm אינו מצריך סוגריים ואינו תלוי  בסדר המחוברים

2) וקטור האפס 0 הוא יחיד

3) הנגדי -u של u הוא יחיד,

4) חוק הצמצום בחיבור מתקיים, כלומר לכל  שלושה וקטוריים u, v, w  ב- V :

u + w = v +w   גורר   u = v

5)חיסור מוגדר ע"י   u - v  = u + ( -v)

 

מאידך ארבע התכונות הנותרות עוסקות ב"פעולת" השדה K על V.

מתכונות אלו אנו מביאים  את המסקנות הנובעות ישירות מהגדרת מרחב וקטורי:

 

1) עבור 0 ב- V ולכל סקלר k   ב- K,  k0 = 0.

2) עבור 0 ב- K ולכל וקטור u   ב-  V      0u = 0

3) אם ku = 0  כש- k  ב- K ו- u  ב- V   אזי   k = 0  או  u = 0

4) לכל k  ב- K ולכל u ב- V       (-k)u = k(-u) = -ku 

 

הוכיחו מסקנות אלו בעזרת התכונות שלמעלה!

 

 

 

 

 

 

 31-01-04 / 21:42  עודכן ,  28-11-03 / 11:02  נוצר ע"י חגית כנפי  בתאריך 
 שדה - הקודםהבא - דוגמאות של מרחבים וקטוריים 
תגובות הקוראים    תגובות  -  0
דרכונט
מהי מערכת הדרכונט?
אינך מחובר, להתחברות:
דוא"ל
ססמא
נושאי לימוד
חיפוש  |  לא פועל
משלנו  |  לא פועל
גולשים מקוונים: 4