» נושאי לימוד
» נושאי לימוד
יום שני 16 בספטמבר 2019
שדה
דף ראשי   מרחבים וקטורים  מרחבים וקטוריים  שדה גרסה להדפסה

שדה

 

לפני שנתחיל ללמוד על מרחבים וקטוריים נזכיר תחילה את המושג שדה.

 

שדה הוא קבוצה של איברים אשר מכילה לפחות שני איברים עם שתי פעולות בינאריות חיבור וכפל בעלות תשע התכונות הבאות המתקיימות עבור כל בחירה של איברים מהקבוצה a,b,c:

 

 

 

א) החיבור הוא קומוטטבי  a+b = b+a :   (חוק החילוף)

 

ב) החיבור הוא אסוציאטיבי :+ c  (a + (b + c) = (a + b  (חוק הקיבוץ)

 

ג) 0 + a = a, 0 הוא המספר היחיד בעל תכונה זו ( 0 איבר אדיש (נטרלי) ביחס לחיבור).

 

ד) לכל a  יש איבר יחיד  a -  , כך ש-  a + (-a) = 0 ( הפעולה b + (-a) , כלומר b - a היא  פעולת החיסור).

 

ה) הכפל הוא קומוטטבי:  a b = b a.

 

ו) הכפל הוא אסוציאטיבי : c  (a  (b  c) = (a  b .

 

ז) a*1= a ו- 1 הוא האיבר היחיד שמקיים זאת.  ( 1 איבר אדיש (נטרלי) ביחס לכפל).

 

ח) לכל  a  ששונה מ-0 יש איבר יחיד a-1 , כך ש- a*a-1 = 1  (איבר הופכי)

 

ט) מתקיים חוק הפילוג: (a + b) c = a*c + b*c  (דסטריבוטיביות)

 

 

 

 

דוגמאות

 

א) שדה המרוכבים  C,  שדה הממשי R, ושדה הרציונלי Q.

 

ב) הקבוצה Z אינה שדה כי רק ל- 1 ול- 1-  יש איבר הופכי.

 

ג) קבוצת המספרים הזוגיים   היא לא שדה. (בדקו!)

 

ד) נתונה קבוצת המטריצות    נוכיח ש- F שדה.

 

צריך להוכיח את כל תשע התכונות של שדה.

 

נוכיח ש-F סגורה לגבי חיבור וכפל, כלומר סכום ומכפלה של שתי מטריצות מ-F הן מטריצות ב-F.

 

תהיינה  

 

אזי 

 

 

חיבור וכפל של מטריצות מ-F מקיימים את התכונות א'-ז' ו-ט'. נבדוק את תכונה ח'.

מספיק להראות שכל מטריצה A השונה מ- 0 הפיכה ב-F , ואמנם אם A   שונה מ-0 הדטרמיננט   A = a2 - 2b2 שונה מ- 0 לכל  a ,b  רציונאליים, לכן היא הפיכה.

כל התכונות מתקיימות ולכן F שדה.

 

 עכשיו נוכל להסביר את המושג מרחבים וקטורים!

 

 31-01-04 / 21:41  עודכן ,  28-11-03 / 09:40  נוצר ע"י חגית כנפי  בתאריך 
 מרחבים וקטוריים - הקודםהבא - מרחב וקטורי (או מרחב לינארי) 
תגובות הקוראים    תגובות  -  0
דרכונט
מהי מערכת הדרכונט?
אינך מחובר, להתחברות:
דוא"ל
ססמא
נושאי לימוד
חיפוש  |  לא פועל
משלנו  |  לא פועל
גולשים מקוונים: 21