וקטורים ומשוואות לינאריות

שני מושגים חשובים העוסקים בוקטורים, קומבינציות לינאריות ותלות ליניארית, קשורים קשר הדוק למערכות של משוואות לינאריות.

קומבינציות לינאריות

התבונן במערכת לא- הומגנית של m משוואות ו- n נעלמים:

a₁₁X₁ + a₁₂X₂  + ... +  a_1nX_n = b₁

a₂₁X₁ + a ₂₂ X ₂  + ... +  a_2nX_n = b₂

                                                        .

                                                        .

                                                        .

a_m1X₁ + a_m2X₂  + ... +  a_mnX_n = b_m                               

מערכת זו שקולה למשוואה הוקטורית הבאה:

כלומר למשוואה הוקטורית:

x₁u₁ +  x₂u₂ + ... + x_nu_n =  v

כאשר u₁, u₂ , ... u_n  ו- v הם וקטורי העמודה שלעיל בהתאמה.

אם למערכת יש פתרון , אז אומרים ש- v היא קומבינציה לינארית (צרוף לינארי) של הוקטורים u_i.

דוגמא

נניח

הוא פתרון האפס x = 0, y = 0, z = 0   על כן שלושת הוקטורים בלתי תלוים לינארית.

ב) למשוואה הוקטורית    או 

יש פתרון שונה מאפס (1,  2- , 3)     

x = 3, y = -2, z = 1 כלומר 

על – כן שלושת הוקטורים תלוים לינארית