מכפלה סקלרית

יהיו u ו-  v  וקטורים ב-  Rⁿ  :

(v₁, v₂, ...v_n)              U= (u₁, u₂, ...u_n)                   = V

המכפלה הסקלרית או הפנימית של u ו- v  , שתסומן ב- u∙v,  , היא הסקלר המתקבל מחבור מכפלות הרכיבים המתאימים.

הוקטורים  u ו- v נקראים אורתוגונליים (או ניצבים), אם מכפלתם הפנימית  היא אפס , כלומר אם    0 =  u∙v

דוגמא

 התבונן בוקטורים הבאים:

w= (5, -4, 5, 7)      v = (6, 7, 1, -2)       u= (1, -2, 3, -4)     

נכפול את הוקטורים u∙v  ו-  u∙w:

        u ∙ v = 1∙6 + (-2)∙7 + 3∙1 + (-4)∙(-2)  =  6 - 14 +3 +8 = 3         

u ∙ w = 1∙5 + (-2)∙(-4) + 3∙5 + (-4)∙7  = 5 + 8 -15 - 28 = 0

  u ו- v  הם אורתוגונליים כי מכפלתם הפנימית היא אפס.

כעת נביא את התכונות הבסיסיות של המכפלה הפנימית ב- Rⁿ :

לכל שלשה וקטורים u,v,w  ב Rⁿ    ומספר k  ב R מתקיימות התכונות הבאות:

א)                             (u + v) ∙ w = u ∙ w + v ∙ w

ב)                             (k u) ∙ v = k (u∙ v)

ג)                              u ∙ v = v ∙ u

ד)                              u ∙ u ≥ 0  ו-  u∙ u  = 0  אם ורק אם  u = 0.

המרחב Rⁿ  עם הפעולות חיבור וקטורים, כפל בסקלר, ומכפלה פנימית נקרא בדר"כ מרחב- n אויקלידי.