דוגמאות של מרחבים וקטוריים

 

נמנה מספר דוגמאות חשובות של מרחבים וקטורים אשר ישמשו אותנו בהמשך

 

המרחב K^N

 

יהי K שדה שרירותי. הסימון  Kⁿ  משמש לעיתים קרובות כדי לציין את הקבוצה של כל

הn-יות של איברים ב-K

כאן אנו מתיחסים ל- Kⁿ  כאל מרחב וקטורי מעל K, כאשר חיבור וקטורים והכפלה בסקלר מוגדרים ע"י:

 

(a₁, a_2,...a_n ) + (b₁, b₂, ...b_n) = (a₁+ b_1, a₂ + b₂,... ,a_n + b_n)

 

k(a₁, a_2,...a_n ) =( ka₁, ka₂,... , ka_n)

 

וקטור האפס ב- Kⁿ הוא n-ית האפסים,    0 = (0, 0, ...0)

והנגדי של וקטור מוגדר ע"י (-a₁, -a_2,... -a_n )   =  (a₁, a_2,...a_n )-

 

מרחב המטריצות  M _{m , n}

 

הסימון M _{m , n}  או בפשטות M, ישמש כדי לצין את קבוצת כל המטריצות m x n מעל שדה שרירותי K.

אזי M _{m , n}  הוא מרחב וקטורי מעל K ביחס לפעולות הרגילות של חיבור מטריצות וכפל מטריצה בסקלר ( ראב החלק פעולות מיוחדות במטריצות)

 

מרחב הפולינומים P(t)

 

תהי P(t)  קבוצת כל הפולינומים  :

 

a₀ + a₁t + a₂t² + ... a_ntⁿ      ( n = 0, 1, 2, ...)

 

עם מקדמים a_i  בשדה כלשהו K . אזי P(t) הוא מרחב וקטורי מעל K ביחס לפעולות הרגילות של חיבור פולינומים וכפל בסקלר.

 

מרחב הפונקציות F(x)

 

תהי X קבוצה לא-ריקה כלשהיא ויהי K שדה שרירותי . נתבונן בקבוצה F(x) של כל הפונקציות מ-X אל K .

 

 F(x) לא ריקה מאחר ש- X לא ריקה.

 

סכום שתי פונקציות f, g   היא הפונקציה  f+g  המוגדרת ע"י

 

( f + g )(x) = f(x) + g(x)      לכל x ששייך ל- X

 

והמכפלה של סקלר  k  ב- K בפונקציה  f  היא הפונקציה  kf ששייכת ל - F(x)המוגדרת ע"י:

 

(kf)(x) = kf(x)   לכל x ששייך ל- X.

 

אזי F(x)  עם הפעולות שלעיל היא מרחב וקטורי מעל K .

 

וקטור האפס ב - F(x) הוא פונקצית ה- 0 אשר מעתיקה כל x ב- X אל 0 ב- K, כלומר

 

0(x) = 0   לכל x ששייך ל- X.

 

כמו כן, עבור כל פונקציה f    הפונקציה  -f  המוגדרת ע"י

 

(-f)(x) = - f(x)    לכל x ששייך ל- X.

היא הנגדי של הפונקציה f.