הגדרה : יהיו

וקטורים. נאמר כי u תלוי לינארית בוקטורים אלו אם קיימים

מספרים (סקלרים)

כך ש -

.

במקרה זה נאמר גם כי u הינו צירוף לינארי של הוקטורים

.

דוגמה : האם הוקטור

תלוי לינארית בוקטורים

פתרון : כדי להראות ש- w ת"ל (תלוי לינארית) ב- u ו v צריך להראות שקיימים סקלרים a ו b

כך ש-

.

קבלנו 3 משוואות בשני נעלמים:

נפתור אם כן 2 משוואות ונציב את הפתרונות במשוואה השלישית.

אם יתקבל פסוק אמת אזי הם ת"ל אחרת הם בת"ל (בלתי תלויים לינארית)

משפט : יהיו

שני וקטורים בעלי מוצא משותף. אזי u ת"ל ב- v אם ורק אם

A,B,C  על אותו ישר.

משפט : יהיו

שני וקטורים בעלי מוצא משותף שאינם על אותו ישר

ויהי

. נאמר כי w ת"ל ב- u ו v אם A,B,C,D נמצאים באותו מישור.

משפט : יהיו

שלשה וקטורים בעלי מוצא משותף שאינם באותו

מישור.

ויהי

. נאמר כי x ת"ל ב- u , v ו w אם A,B,C,D,E נמצאים באותו מרחב.

כלומר - כל וקטור במרחב,ת"ל בכל שלשה וקטורים בעלי מוצא משותף ושאינם           באותו מישור.

דוגמה : הראה כי הנקודות

נמצאות במישור אחד.

פתרון : לשם כך יש להראות כי ישנם 3 וקטורים כך ששניים מהם בעלי מוצא משותף ואינם על

ישר ,והשלישי ת"ל בהם. לכן נגדיר 3 וקטורים שראשיתם בנקודה A.

u ו v אינם על ישר אחד כיוון שלא קיים סקלר t כך ש- u = tv . ולכן הם קובעים מישור.

w ת"ל ב - u ו v אם קיימים שני סקלרים s ו t כך ש-

.

לכן ארבעת הנקודות נמצאות במישור אחד. w נמצא במישור הנפרש ע"י u ו v.

משפט : יהיו u ו

שני וקטורים. אזי u ת"ל ב- v אם ורק אם הוא על אותו ישר או על ישר

המקביל ל- v.

משפט :  יהיו u ו

שני וקטורים, כאשר v נמצא במישור

. u ת"ל ב- v אם ורק אם  u

במישור

או על ישר המקביל למישור.