תנועה בתאוצה קבועה במימד אחד

 

נדמיין לנו גוף הנע על ציר ישר ורק עליו. דוגמאות לכך יכולות להיות מכונית הנעה על כביש ישר, עציץ הנופל בקו ישר מגג בית לרחוב, או כדורגל הנבעט מעלה בכיוון אנכי לקרקע.

המטרה- לדעת בכל רגע היכן נמצא הגוף כאשר ידועים לנו שלושה דברים:

1. תאוצה קבועה שנסמן ב-a.

2. מהירות התחלתית שנסמן ב-v0.

3. מיקום התחלתי שנסמן ב-x0.

 

חשוב להגדיר על ציר התנועה שני דברים, הנתונים לבחירתנו השרירותית:

1. יש לקבוע מקום מסויים על הציר שיהיה מוגדר כמיקום אפס. יחסית אליו נדע למדוד את כל המיקומים האחרים (מיקום זה דבר יחסי לגמרי, זוכרים?)
2. צריך לבחור איזה קצה של הציר יהיה החיובי ואיזה קצה ייחשב השלילי. מיקומים מהאפס והלאה לכיוון הקצה החיובי יהיו מספרים חיוביים ומיקומים מהאפס והלאה לכיוון הקצה השלילי, יהיו מספרים שליליים. גם מהירויות ותאוצות שכיוונן לקצה החיובי יוגדרו כחיוביות, וכאלה שכיוונן לקצה השלילי יוגדרו כשליליות.

החופש בידינו לבחור את שתי הנקודות הנ"ל בצורה הנוחה ביותר לנו, אך חובה עלינו להיות עקביים מרגע שבחרנו אותן ובמהלך כל החישוב.

 

כיוון שהתאוצה הקבועה היא a , נוספים למהירות a מטרים לשניה בכל שניה שעוברת. וכיוון שהתחלנו מערך ראשוני v0 , המהירות לאחר t שניות היא:

 

 

מתוך כך שידועה לנו המהירות ההתחלתית, v0, וגם המהירות לאחר t שניות- at + v0, אפשר לחשב מהירות ממוצעת: 

 

 

וכמו שאנו יודעים, ישנה עוד דרך לחשב מהירות ממוצעת- דרך חלקי זמן:

(x הוא המיקום בזמן t)

 

 

נשווה את שתי התוצאות שיקבלנו עבור המהירות הממוצעת ונקבל:

 

 

נכפיל ב-t ונבודד את x:

 

 

 ובכן, קיבלנו נוסחאות למהירות ולמיקום בכל זמן t, אם רק ידועים לנו תנאי ההתחלה והתאוצה.

מתוך שתי נוסחאות אלה ניתן להגיע לעוד שתי נוסחאות.

 

נכתוב במרוכז את ארבע הנוסחאות לתנועה בתאוצה קבועה:

 

 

 

 

 

 

בכל בעיה יש לראות מה אנחנו יודעים, ולהשתמש בנוסחאות המכילות את הפרטים הידועים לנו.

 

 

דוגמה:

אופנוע מתחיל להאיץ בתאוצה קבועה של 4 מיד בעוברו את השלט המזכיר לנהגים ליסוע לאט. בעוברו את השלט, מהירותו 3 מטרים לשניה.

1. היכן הוא, ובאיזו מהירות הוא נוסע כעבור 2 שניות מאז חלף על פני השלט?
2. היכן הוא כאשר מהירותו היא 5 מטרים לשניה?

 

תשובה:

נבחר את נקודת האפס בתור השלט. ואת כיוון נסיעתו הראשוני ככיוון החיובי.

על (1) ניתן לענות בעזרת שתי המשוואות הראשונות:

 

לאחר 2 שניות האופנוע נמצא 14 מטרים מהשלט ומהירותו 11 מטרים לשניה.

 

כדי לענות על (2) צריך נוסחה שיש בה רק את התאוצה, המהירות והמרחק:

 

 

כשמהירותו של האופנוע מגיעה ל-5 מטרים לשניה, הוא נמצא 2 מטרים מהשלט.