הקיבול של כדור וקבל כדורי
הפוטנציאל על פני כדור הטעון במטען Q, הוא הפוטנציאל של מטען נקודתי במרכז הכדור:
U = KQ / R = 1 / (4ΠE0) · (Q / R)
מכיוון שהפוטנציאל באינסוף שווה לאפס, הפרש הפוטנציאלים בין פני הכדור ואינסוף שווה לפוטנציאל על הכדור. ולכן:
Q / U = R / K
ומכאן הקיבול של כדור הוא:
C = R / K = 4ΠE0R
דוגמא: מהו הקיבול של כדור שרדיוסו 30 cm?
פתרון: C = R / K = 0.3 / (9·109) = 3.3·10-11 F = 33 pF
דוגמא נוספת: כדור שרדיוסו 5 cm מחובר על ידי תיל מוליך לכדור שרדיוסו 10 cm. מהו הקיבול המשותף שלהם?
פתרון: בסיום התהליך הפוטנציאלים על פני 2 הכדורים יהיו זהים, שהרי אם לא כן המטענים היו ממשיכים לנוע. לכן זהו חיבור במקביל:
CT = C1 + C2 = R1/K + R2/K = 1/K (R1 + R2) = 0.15/(9·109) = 16.6 pF
כדי למצוא את הקיבול של קבל כדורי בעל רדיוס פנימי r ורדיוס חיצוני R, נחשב את הפוטנציאל על פני הכדור החיצוני והפנימי. הפוטנציאל בנקודה A על פני הכדור החיצוני נגרם על ידי הן הכדור הפנימי והן על ידי הכדור החיצוני.
VA = K(-Q)/R + K(+Q)/R = 0
כלומר, הפוטנציאל על פני הכדור החיצוני הוא 0 , מכיוון שמטען מבחוץ לא מרגיש כלל את המטען של הכדור, כי המטען החיובי מבטל את השפעת המטען השלילי. בדומה לאטום הנייטרלי מבחוץ שהרי האלקטרון מבטל את השפעת הפרוטון.
הפוטנציאל בנקודה B (על שפת הכדור הפנימי) נגרם על ידי הכדור הפנימי וגם על ידי הכדור החיצוני שנקודה B נמצאת בתוכו. נזכור שהפוטנציאל בתוך כדור שווה לפוטנציאל על השפה:
VB = K(-Q) / R + KQ/r
UAB = VA - VB = KQ(1/r - 1/R) = KQ(R - r) / (r·R)
Q / UAB = 1/K · [ R·r / (R-r) ]
ולכן:
C = 1/K · [ R·r / (R-r) ] = 4ΠE0R·r / (R - r)
דוגמא: מהו הקיבול של קבל כדורי שרדיוסו הפנימי 5 cm ורדיוסו החיצוני 10 cm?
פתרון:
C = [1 / (9·109)] · [(0.1·0.05) / (0.1 - 0.05)] = 1.1 · 10-11 = 11 pF
דוגמא : קבל כדורי שרדיוסו הפנימי 10 cm ורדיוסו החיצוני 11 cm חובר למקור מתח של 10 V.
א. מהו המטען על כל אחד מלוחות הקבל?
פתרון: קיבול הקבל הוא:
C = [1 / (9·109)] · [(0.11·0.1) / 0.01] = 1.22 · 10-10 = 122 pF
ולכן המטען הוא:
Q = C·U = 1.22 · 10-10 · 10 = 1.22 · 10-9 C
ב. מהי האנרגיה האגורה בקבל?
פתרון:
E = 0.5 · C(U)2 = 0.5 · 1.22 · 10-10 · 102 = 6.1 · 10-9 J
גולשים מקוונים: 3